薛 巍
经常乘飞机的人都会有一个烦恼：为了确保不误机，就要提前几个小时去机场，长此以往会浪费很多宝贵的时间。诺贝尔经济学奖获得者乔治·斯蒂格勒曾经说过：“如果你从未错过航班，这说明你在机场花了太多时间。”美国威斯康辛大学数学教授艾伦伯格提议的做法是，你弄清前往机场的合适的最晚班车的时间，然后搭乘它前面的那一班。
到底该什么时候去机场？到机场太早和太晚都不好，对早到和晚到的坏处进行量化有助于我们寻找最佳的到达时间。假如在机场等候1个小时要花费10个效用，误机要花费50个效用。如果你早到半小时，你误机的概率是20%，早到1个小时，误机的概率为5%，早到2个小时误机的概率就只有1%。假如你早到1个小时，候机的损失是10个效用，误机的损失是误机的概率乘以误机损失的效用，假如早到1小时，你误机的概率是5%，这将令你损失50个效用，预期的损失就是5%乘以50，等于2.5个效用。加在一起的话，早到1小时的预期损失是12.5个效用。 如果早到2个小时，候机损失20个效用，而误机的预期损失只有1%乘以50，等于0.5，总的预期损失为20.5，这比早到1个小时大多了。如果你提前半小时到达机场，你候机时只损失5个效用，但误机概率是20%，预期损失是20%乘以50，结果是10个效用，总的预期损失是15个效用，大于早到1个小时的结果。预期效用分析是经济学的基本观念，许多经济学模型都是以效用最大化为基础。（这非常类似于银行业“贷款总额”与“不良贷款率”的关系——编者注） 跟到达机场的最佳时间类似，“二战”期间，美军遇到一个问题：为了不让飞机被敌机击落，就要给飞机装上护甲。但护甲会加大飞机的重量，这样飞机就不容易操控，而且会消耗更多燃油。护甲太多不行，太少也不行。在这之间有一个最优值，需要数学家来确定它。 当时，美国数学家组成了一个统计学研究小组，担任美军的顾问。这个小组中最聪明的人是匈牙利裔数学家亚伯拉罕·沃尔德（Abraham Wald），后来获得诺贝尔经济学奖的米尔顿·弗里德曼在这个小组中只是第四聪明的人。军方带着一些他们认为有用的数据来到了统计研究小组。当美军的飞机交战后从欧洲返回后，身上布满了弹孔。但弹孔在飞机上的分布是不均匀的。机身上有许多弹孔，但引擎周围的弹孔不多。军官们认为可以把护甲装到最需要的地方，从而提高效率。但沃尔德说，护甲不应该装到有弹孔的地方，而是应该装到没有弹孔的地方——引擎上。沃尔德的思路是：引擎没有遭到严重打击的飞机回来了，是因为引擎被打中的飞机都没能回来。那么多机身中弹的飞机回到了基地，证明机身中弹是可以忍受的。 艾伦伯格说，在这里沃尔德用到了数学家们一个很古老的技巧：把某个变量设为零。在这里要调整的变量是引擎中弹的飞机仍能平稳飞行的可能性。把这一可能性设为零，意味着引擎中弹一次飞机就会被击落。回来的飞机机身上弹孔累累，但引擎都没中弹。这种情况有两种解释，要么德国的子弹只会打中引擎之外的地方，要么引擎特别脆弱。它们都能解释已有的数据，但是后者更说得通。沃尔德的建议很快被采纳，并一直被沿用。 沃尔德为什么能够看到军官们没有看到的问题？这跟他数学家的思考习惯有关。数学家总是问：你做了什么假定？它们有道理吗？军官们的假定是：返回的飞机是全部飞机的一个随机样本。一旦你认识到你做了一个假定，你马上就会意识到它是错误的。不是无论哪里被击中都有同样的生存机会。 沃尔德的另一个优势是他喜欢抽象的东西，他不喜欢去关注实用性问题，如飞机和枪的细节。有时这种思考方式会令你忽略问题的一些特征，但也会让你看到表面上看不一样的问题共同的构架。对数学家来说，弹孔问题的基本结构是一种叫“幸存者偏见”的现象：我们只注意到了幸存者。在判断基金的表现时，也要小心“幸存者偏见”，不要忽略已经死掉的基金，而已经死掉的往往是不挣钱的。所以，判断共同基金十年间的价值时，如果只计算十年之后仍然存在的基金，就像通过计算返航飞机身上的弹孔来判断飞行员的躲避策略。 （摘自《三联生活周刊》2014年第25期） 
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